Question

已知

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，且f(x)=

a

•

b

-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）由三角函数公式可得f(x)=

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）由此可求解，
（2）利用（1）的结论可知函数在给定区间[0，

π

2

]上的单调性，即可获得最大最小值．

解答：解：（1）因为

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，
所以f(x)=

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
所以f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z解得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，即单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z
（2）由（1）可知f（x）在区间[0，

π

6

]上单调递增，在[

π

6

，

π

2

]上单调递减，
故当x=

π

6

时，f（x）取到最大值f（

π

6

）=2；当x=

π

2

时，f（x）取到最大值f（

π

2

）=-1．

点评：本题为三角函数与向量的综合应用，准确记住公式是解决问题的关键，属中档题．