Question

已知

a

=(2sinx，

2

cos(x-

π

2

)+1)，

b

=(cosx，

2

cos(x-

π

2

)-1)，设f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且a=2，f（A）=1，b=

6

，求边c．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式，化简得f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)，再利用三角函数的周期公式和单调区间的公式加以计算，可得答案；
（2）根据f（A）=1解出sin(2A-

π

4

)=

2

2

，结合A为锐角算出A=

π

4

．再利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子建立关于边c的等式，解之即可得到边c的值．

解答：解：（1）根据题意，可得
f(x)=

a

•

b

=2sinxcosx+2cos2(x-

π

2

)-1=sin2x+cos(2x-π)
=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z．
∴f（x）的单调增区间为：[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．
（2）∵a=2，b=

6

，a＜b，∴A是锐角，即0＜A＜

π

2

，
∵f(A)=

2

sin(2A-

π

4

)=1，∴sin(2A-

π

4

)=

2

2

又∵-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

，∴可得2A-

π

4

=

π

4

，解之得A=

π

4

．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：4=6+c2-

3

c，
化简得c2-2

3

c+2=0，解得c=

3

+1或c=

3

-1．

点评：本题着重考查了向量的数量积公式、二倍角的三角函数公式和辅助角公式、三角函数的图象与性质和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．