Question

10．已知等比数列{a_n}中，a_n＞0，a₂=3，a₆=243，则该数列的通项公式a_n=3^n-1，数列{log₃a_n}的前n项的和为$\frac{{n}^{2}-n}{2}$．

Answer 1

分析 通过等比数列{a_n}的概念可知q⁴=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{2}}$，进而可知a_n=a₂•q^n-2=3^n-1，利用对数的性质可知log₃a_n=n-1，通过等差数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₂=3，a₆=243，
∴q⁴=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{2}}$=$\frac{243}{3}$=81，
又∵a_n＞0，
∴q=3，
∴a_n=a₂•q^n-2=3•3^n-2=3^n-1，
∴log₃a_n=log₃3^n-1=n-1，
∴数列{log₃a_n}的前n项的和为：$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$，
故答案为：${3^{n-1}}，\frac{{{n^2}-n}}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，涉及对数的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．