Question

6．正四棱锥P-ABCD的底面边长为6，∠PBD=45°，求它的体积和全面积．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出正四棱锥的高与斜高，代入体积公式及全面积公式得答案．

解答 解：如图，

在正四棱锥P-ABCD中，∵底面边长AB=6，∴BD=$6\sqrt{2}$，则BO=$3\sqrt{2}$，
又∠PBD=45°，∴PO=$3\sqrt{2}$，则斜高h=$\sqrt{P{O}^{2}+（\frac{1}{2}AB）^{2}}=\sqrt{18+9}=3\sqrt{3}$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×6×6×3\sqrt{2}=36\sqrt{2}$，
正四棱锥P-ABCD的全面积S=6×6+4×$\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$=36+36$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正四棱锥的体积与全面积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．