Question

14．给出以下命题：
①若f′（x₀）=0，则f（x₀）为f（x）的极值．
②若f（x）的极大值为f（x₁），f（x）的极小值为f（x₂），则f（x₁）＞f（x₂）；
③△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，则△ABC是钝角三角形；
④若函数f（x）=cos2x+asinx在区间$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$是减函数，则a∈$（{-∞，2\sqrt{2}}]$
⑤设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=$\frac{2S}{a+b+c}$；类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，内切球的半径为R，四面体P-ABC的体积为V，则R=$\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$
其中正确命题的序号为③④⑤．

Answer 1

分析 根据函数极值的性质，可判断①②；根据正弦定理和余弦定理，可判断③；根据复合函数的单调性，求出a的范围，可判断④；根据等积法，可判断⑤．

解答 解：给出以下命题：
①令f（x）=x³，则f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值，故错误．
②若f（x）的极大值为f（x₁），f（x）的极小值为f（x₂），但f（x₁）与f（x₂）的大小无法判断，故错误；
③△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，即a²+b²＜c²，此时cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，则C为钝角，则△ABC是钝角三角形，故正确；
④函数f（x）=cos2x+asin x=-2sin²x+asin x+1，
令t=sin x，x∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，则t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
此时t=sin x，x∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$为增函数，
y=f（x）=-2t²+at+1是减函数，
故$\frac{a}{4}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则a∈$（{-∞，2\sqrt{2}}]$，故正确；
⑤设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=$\frac{2S}{a+b+c}$；
类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，内切球的半径为R，四面体P-ABC的体积为V，则R=$\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$，故正确；
故答案为：③④⑤．

点评 本题以命题命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的极值，解三角形，复合函数的单调性，类比推理等知识点，难度中档．