Question

2．已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R且a＜0）．若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3．
（Ⅰ）求a，b的值；     
（Ⅱ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求出切线的斜率，解方程，即可得到a，再由图象过原点，可得b=0；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）=x³+4x²-3xf′（x）=3x²+8x-3，求出切线斜率、切点坐标，即可求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b，
∴f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）…（2分）            
依题意得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b=0}\\{f′（0）=-a（a+2）=-3}\end{array}\right.$…（4分）
解得，a=-3或a=1（舍去） …（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）=x³+4x²-3xf′（x）=3x²+8x-3…（6分）
所以k=f′（1）=8…（7分）
又因为当x=1时f（1）=1+4-3=2…（8分）
所以函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2=8（x-1）
即y=8x-6…（10分）

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题．