Question

4．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=4|$\overrightarrow{a}$|，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ 的值．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=4|$\overrightarrow{a}$|，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2${|\overrightarrow{a}|}^{2}$+|$\overrightarrow{a}$|•4|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=0，∴cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{2}{3}π$，
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．