Question

（2013•宁波二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设函数f(x)=cosx•cos(x-A)-

1

2

cosA（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=

π

3

处取得最大值，求

a(cosB+cosC)

(b+c)sinA

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数f（x）的解析式为

1

2

cos(2x-A)，由此可求它的最大值．
（Ⅱ）由（ I）知：由

2π

3

-A=2kπ，k∈Z，求得A的值，再利用正弦定理及两角和差的正弦公式、余弦公式，化简要求的式子，求得结果．

解答：解：（Ⅰ）依题意得f(x)=cos2xcosA+cosxsinxsinA-

1

2

cosA…（2分）
=

1

2

(cos2x•cosA+sin2x•sinA)=

1

2

cos(2x-A)，…（5分）
所以T=π，(f(x))max=

1

2

．…（7分）
（Ⅱ）由（ I）知：由

2π

3

-A=2kπ，k∈Z，得A=

2π

3

-2kπ∈(0，π)，
所以A=

2π

3

．
故

a(cosB+cosC)

(b+c)sinA

=

cosB+cosC

sinB+sinC

=

cos( π 3 -C)+cosC

sin( π 3 -C)+sinC

=

3 2 cosC+ 3 2 sinC

3 2 cosC+ 1 2 sinC

=

3

．…（14分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦定理以及二倍角公式的应用，属于中档题．