Question

（2011•孝感模拟）先后掷三颗骰子，掷第一颗骰子得到的点数记为a₁，掷第二颗骰子得到的点数记为a₂，掷第三颗骰子得到的点数记为a₃，则使函数f（x）=

1

3

a2x3+

1

2

(a1+a3) x2+(a1+a3-a2)x-4在R上存在反函数的概率为（　　）

• A．

  1

  6

• B．

  1

  18

• C．

  1

  12

• D．

  1

  36

Answer 1

分析：在R上存在反函数的函数，必须是R上的单调函数，故导数f'（x）在R上恒大于等于零或恒小于或等于零．求出函数f（x）的导数，可得导数对应的二次函数恒为正数或零，因此函数的图象开口向上，与x轴至多一个公共点．运用一元二次方程根的判别式小于或等于零，进行化简得到a1+a3=2a2 ，最后通过分类讨论可得符合题意的骰子的掷法一共18种，利用随机事件的概率公式，可得所求的概率．

解答：解：要使函数f（x）=

1

3

a2x3+

1

2

(a1+a3)x2+(a1+a3-a2)x-4在R上存在反函数，
f（x）必须是R上的单调函数，故导数f'（x）在R上恒大于等于零或恒小于或等于零．
因为f'（x）=a2x2+(a1+a3)x+a1+a3-a2是二次函数，二次项系数a₂＞0是正整数
所以f'（x）在R上恒大于等于零．
∴△=(a1+a3)2-4a2(a1+a3-a2)≤0
即(a1+a3)2-4a2(a1+a3)+4a2 2≤0⇒(a1+a3-2a2)2≤0
∵(a1+a3-2a2)2≥0
∴a1+a3-2a2 =0⇒a1+a3=2a2 
所以原函数在R上有反函数的概率，即为事件“a1+a3=2a2 ”的概率，
掷三颗骰子，将符合题意的情况作如下分类：
①a₂=1，此时a₁=1，a₃=1一种情况；
②a₂=2，此时a₁=2，a₃=2或a₁=1，a₃=3或a₁=3，a₁=1三种情况；
③a₂=3，此时a₁=3，a₃=3或a₁=1，a₃=5或a₁=5，a₃=1
或a₁=2，a₃=4或a₁=4，a₃=2，共五种情况；
④a₂=4，此时a₁=4，a₃=4或a₁=2，a₃=6或a₁=6，a₃=2
或a₁=3，a₃=5或a₁=5，a₃=3，共五种情况；
⑤a₂=5，此时a₁=5，a₃=5或a₁=4，a₃=6或a₁=6，a₃=4三种情况；
⑥a₂=6，此时a₁=6，a₃=6一种情况
综上所述，总共有18种符合题意的情况，
故求的概率为：P=

18

6×6×6

=

1

12

故选C

点评：本题借助于一个三次多项式函数单调性的讨论的问题，着重考查了运用导数研究函数的单调性和等可能性事件的概率公式等知识点，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．