Question

17.

    如图所示，AF、DE分别是⊙、⊙₁的直径。AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙的直径，AB=AC=6，OE//AD。

    （Ⅰ）求二面角B-AD-F的大小；

    （Ⅱ）求直线BD与EF所成的角。

Answer 1

解（Ⅰ）AD与两圆所在的平面均垂直，

ADAB，ADAF，

故BAF是二面角B—AD—F的平面角，

BC是圆O的直径，AB=AC

AOBC.又AF是圆O直径

四边形ABCF是正方形，所以BAF=.

即二面角B—AD—F的大小为.

(Ⅱ)连结DO.

AD与两圆所在的平面均垂直，圆O与圆O₁所在平面平行，

又OEAD，OE垂直于圆O所在的平面，OE=AD（夹在两平行平面间的距离相等）

四边形AOED是矩形。DEAO，DE=AO

又AF是圆O的直径，DE是圆O₁的直径，DEOF，DE=OF

四边形DOFE是平行四边形，DOEF

BDO即为直线BD与EF所成的角。

由（Ⅰ）可知BC面AOED，BOOD

在RtABC中，AB=AC=6，BC=6

在RtDAO中，AD=8，AO=3，

在RtBDO中，有

故直线BD与EF所成的角为.

解法2：（Ⅱ）以O为原点，以BC所在直线为x轴，以AF所在直线为y轴，以OE所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，依题意，有O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0），D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）

所以，

设异面直线BD与EF所成角为，

则

故直线BD与EF所成的角为