Question

已知点P（3，2）及圆C：x²+y²-2x+2y-2=0．
（1）过P向圆C作切线，切点为A，B（A在B的左边），求切线的方程；
（2）求切线长|PA|，并求∠APB的正切；
（3）求直线AB的方程；
（4）求四边形ACBP的面积．

Answer 1

【答案】分析：由（x-1）²+（y+1）²=4，可知圆心C（1，-1），半径r=2
（1）设PA的斜率为k，则PA的方程为y-2=k（x-3），由点到直线的距离公式可得=2可求k，从而可求
（2）将x=3代入圆C可求B（3，-1），从而|PA|=|PB|=3，设PA的倾斜角为θ，则∠APB=90°-θ，由tanθ=k= 可求
（3）由=，及AB⊥PC可求，从而可求直线AB的方程
（4）依据对称性可知S_ACBP=2S_△PBC=，代入可求
解答：解：将已知圆的方程化为（x-1）²+（y+1）²=4，圆心C（1，-1），半径r=2（2分）（以下每题3分）
（1）设PA的斜率为k，则PA的方程为y-2=k（x-3），即kx-y-3k+2=0
由点到直线的距离公式可得，=2
∴k=，由于过圆外一点P（3，2）作圆的切线有两条
一条切线PB的斜率不存在，从而可得两切线中，PA 的方程为5x-12y+9=0，PB的方程为x=3
∴两切线方程分别为5x-12y+9=0和x=3
（2）将x=3代入圆C：：x²+y²-2x+2y-2=0．可得y=-1
∴B（3，-1），|PB|=3，从而|PA|=|PB|=3
又设PA的倾斜角为θ，则∠APB=90°-θ
∵tanθ=k=∴
（3）=，∵AB⊥PC
∴
∵B（3，-1）
∴直线AB的方程为y+1=（x-3）即2x+3y-3=0
（4）依据对称性可知S_ACBP=2S_△PBC==3×2=6
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，，直线的倾斜角与斜率的关系点到直线的距离公式，切线的性质，勾股定理，以及直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的题．