Question

（2013•太原一模）选修4一1：几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．E为⊙O上一点，

AC

=

AE

，DE交AB于点F．
（I）证明：DF•EF=OF•FP；
（II）当AB=2BP时，证明：OF=BF．

Answer 1

分析：（I）利用弧长相等，转化为角相等，通过三角形相似证明：DF•EF=OF•FP；
（II）设BP=a，ly AB=2BP，通过相交弦定理以及数量关系的转化证明：OF=BF．

解答：.（I）证明：因为

AC

=

AE

，∴∠AOE=∠CDE，∴∠EOF=∠PDF，
又∠EFO=∠PFD，
∴△OFE∽△PFD，∴

OF

DF

=

EF

PF

，
∴DF•EF=OF•FP；
（II）设BP=a，由AB=2BP，得AO=BO=BP=a，
由相交弦定理得：DF•EF=AF•BF，
∴AF•BF=OF•FP，
∴OF•（a+BF）=（a+OF）•BF，∴OF=BF．

点评：本题考查直线与圆的关系，三角形相似以及相交弦定理的应用，考查计算能力与转化思想的应用．