Question

已知x∈（0，1）时，函数f（x）=

1+2x2

2x 1-x2

的最小值为b，若定义在R上的函数g（x）满足：对任意m，n∈R都有g（m+n）=g（m）+g（n）+b，则下列结论正确的是（　　）

• A、g（x）-1是奇函数
• B、g（x）+1是奇函数
• C、g（x）-

  3

  是奇函数
• D、g（x）-

  3

  是奇函数

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数的最值及其几何意义,抽象函数及其应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：设x=sinα∈（0，1），则y=

1+2sin2α

sin2α

=

3

2

tanx+

1

2tanx

，再利用基本不等式求最值，从而得到对任意m，n∈R都有g（m+n）=g（m）+g（n）+

3

；再令F（x）=g（x）+

3

，可得F（x）是奇函数即可．

解答： 解：设x=sinα∈（0，1），则y=

1+2sin2α

sin2α

=

3

2

tanx+

1

2tanx

≥2

3 4

=

3

（当且仅当

3

2

tanx=

1

2tanx

，x=

π

6

时，等号成立），故b=

3

；
故对任意m，n∈R都有g（m+n）=g（m）+g（n）+

3

成立；
令F（x）=g（x）+

3

，则g（x）=F（x）-

3

；
故g（m+n）=g（m）+g（n）+

3

可化为F（x+y）=F（x）+F（y）；
从而F（0）=F（0）+F（0），故F（0）=0；
故F（0）=F（x）+F（-x）=0；
故F（x）是奇函数，
故选：D

点评：本题考查了函数的性质应用及三角函数的化简与最值的求法，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．