Question

已知直线y=kx+1和双曲线3x²-y²=1相交于两点A，B．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）联立直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1可得（3-k²）x²-2kx-2=0，由△＞0，且3-k²≠0，解得即为k的范围；
（2）假设存在，则设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依题意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理可得x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，从而可求得

2

k2-3

+1=0，继而可解得k的值．检验成立．

解答： 解：（1）由

y=kx+1 3x2-y2=1

，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，
得-

6

＜k＜

6

，且k≠±

3

；
（2）假设存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，
即

2k2

k2-3

+

-2k2

k2-3

+1+

2

k2-3

=0，
∴

2

k2-3

+1=0，解得k=±1．
经检验，k=±1满足题目条件，
则存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．

点评：本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．