Question

已知动点M（x，y）与定点F（

P

2

，0）（P＞0）和定直线x=-

P

2

得距离相等，
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设M，N是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OM和ON的倾斜角分别为α和β，当α+β=90°时，求证：直线MN恒过一定点．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设M为动圆圆心，（

P

2

，0）记为F，过点M作直线x=-

P

2

的垂线，垂足为N．由题意知：|MF|=|MN|，即动点M到定点F与定直线x=-

P

2

的距离相等，由抛物线定义知：点M的轨迹为抛物线；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线AB的方程为y=kx+b，将y=kx+b与y²=2px，由韦达定理，结合α+β=90°，能推导出直线AB恒过定点（2p，0）．

解答： 解：（1）设M为动圆圆心，（

P

2

，0）记为F，过点M作直线x=-

P

2

的垂线，垂足为N．
由题意知：|MF|=|MN|，即动点M到定点F与定直线x=-

P

2

的距离相等，由抛物线定义知：点M的轨迹为抛物线，
其中F（

P

2

，0）为焦点，x=-

P

2

为准线，所以轨迹方程为y²=2px（p＞0）．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意得x₁，x₂≠0．
又直线OM、ON的倾斜角α、β满足α+β=90°，故0＜α，β＜90°，所以直线AB的斜率存在，
从而设直线AB方程为y=kx+b．显然x₁=

y12

2p

，x₂=

y22

2p

．
将y=kx+b与y²=2px联立消去x，得ky²-2py+2pb=0．
由韦达定理知y₁+y₂=

2p

k

，y₁y₂=

2pb

k

．
由α+β=90°，得1=tanαtanβ，∴y₁y₂=-x₁x₂，
∴

2pb

k

=-4p²，∴b=-2pk．此时，直线AB的方程可表示为y=kx-2pk，
∴直线AB恒过定点（2p，0）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．