Question

已知函数.
（1）试判断函数F（x）=(x²+1) f (x) – g(x)在[1，+∞)上的单调性；
（2）当0＜a＜b时，求证：函数f (x) 定义在区间[a,b]上的值域的长度大于（闭区间[m，n]的长度定义为n –m）．
（3）方程f(x)=是否存在实数根？说明理由。

Answer 1

（1）单调递增
（2）略
（3）不存在实数根

（1）∵F（x）=(x²+1)lnx –2x+2．
∴F ′（x）= 2xlnx+．
∴当x≥1时，F′（x）≥0且仅当x = 1时F′（x）=" 0" ∴F（x）在（1，+∞）上单调递增。
（2）∵0＜a＜b,f (x)在[a,b]上的值域为[lna,lnb]
∴要证值域的长度大于，
即证lnb – lna＞ 
只要证ln 
∵0＜a＜b,∴令 
则只要证lnx＞ （x>1）
即证（x²+1）lnx –(2x –2)>0  (※)
由（1）可知F(x)在（1，+∞）上单调递增∴F（x）＞F（1）=" 0" 所以（※）式成立．
∴f (x)在[a, b]上的值域的长度大于．……9分
（3）∵f (x) =  xlnx= 
令h (x) = xlnx(x>0)．则h ′（x）=lnx+1，
易知，在上单调递减，在上单调递增
当时，
令，则
易知，在上单调递增，在上单调递减
当时，
∵∴方程f(x)=不存在实数根