Question

设函数f（x）=

a

×（

b

+

c

），其中

a

=（sinx，-cosx），

b

=（sinx，-3cosx），

c

=（-cosx，sinx），x∈R．
（1）求函数的解析式；
（2）求当x∈[

3π

8

，

7π

8

]时，函数f（x）的单调性；
（3）y=cosx的图象函数经过怎样的转换得到f（x）的图象．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接结合平面向量的数量积的运算性质进行化简函数，然后，结合二倍角公式进行求解即可；
（2）利用三角函数的图象与性质进行求解；
（3）直接根据三角函数图象变换处理即可．

解答： 解：（1）∵

b

=（sinx，-3cosx），

c

=（-cosx，sinx），
∴

b

+

c

=（sinx-cosx，-3cosx+sinx），
∵

a

=（sinx，-cosx），
∴函数f（x）=

a

•（

b

+

c

）
=sinx（sinx-cosx）+cosx（3cosx-sinx）
=sin²x-sinxcosx+3cos²x-sinxcosx
=sin²x+cos²x+2cos²x-2sinxcosx
=1+1+cos2x-sin2x
=

2

cos（2x+

π

4

）+2，
∴f（x）=

2

cos（2x+

π

4

）+2，
∴函数的解析式f（x）=

2

cos（2x+

π

4

）+2；
（2）令π+2kπ≤2x+

π

4

≤2π+2kπ，k∈Z，
∴x∈[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，即f（x）=

2

cos（2x+

π

4

）+2的单调递增区间为[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，k∈Z．
当x=0时，
x∈[

3π

8

，

7π

8

]，
∴当x∈[

3π

8

，

7π

8

]时，函数f（x）为单调增函数；
（3）先将函数y=cosx的图象横坐不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）=2cosx的图象，然后，再将所得图象上的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，从而得到h（x）=2cos2x的图象，然后再向左平移

π

8

个单位，从而得到函数r（x）=2cos（2x+

π

4

）的图象，再将所得图象整体向上平移2个单位，就得到f（x）=

2

cos（2x+

π

4

）+2的图象．

点评：本题重点考查三角函数的图象与性质，三角公式及其灵活运用，属于中档题．