Question

6．已知离心率为e的双曲线和离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的椭圆有相同的焦点F₁，F₂，P是两曲线的一个公共点，若∠F₁PF₂=60°，则e=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF₁|，|PF₂|，结合∠F₁PF₂=60°，利用余弦定理和离心率公式，建立方程，即可求出e．

解答 解：设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的实半轴长为a₂，
焦距为2c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，且不妨设m＞n，
由m+n=2a₁，m-n=2a₂得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
又∠F₁PF₂=60°，
∴4c²=m²+n²-mn=a₁²+3a₂²，
$\frac{{a}_{1}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{{3a}_{2}^{2}}{{c}^{2}}=4$，
由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
则$\frac{1}{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}+\frac{3}{{e}^{2}}=4$，
解得e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查椭圆、双曲线的定义与性质，主要考查离心率的求法，同时考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．