(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.
过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.
连结OA,OB,OD,OE.
由
和
都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,
故
,从而
.
因为O是BD的中点,E是BC的中点,
所以OE//CD.因此
.
(Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB.
由(Ⅰ)知,
,故
.
又
,
,
故
为等腰三角形,因此
.
又
,所以
平面PCD.
因为AE//CD,
平面PCD,
平面PCD,所以AE//平面PCD.
因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而
,
所以A至平面PCD的距离为1.
(1)解题的关键是辅助线的添加,取BC的中点E是入手点,然后借助三垂线定理进行证明;(2)求点面距的求解方法比较多,在解题过程中,如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题。根据解题经验,总结下面常用的技巧:(1)若直接能够确定点在平面的射影,可考虑用直接法,找出点面距.一般在一些规则的几何体中,顶点在底面的射影比较容易确定.如有时要利用两个平面垂直的性质,在其中一个平面内作两个平面交线的垂线即得;(2)如果能够构造出三棱锥,要找的点面距恰好是三棱锥的高,此时利用等体积法比较简单,但是应该明确另一个顶点到对应底面的距离和底面面积两个量,才能顺利求解,计算过程较为麻烦,但是不用添加辅助线找垂线段. (3)若不易找出射影位置,可考虑利用转移的方法,即把不易求的点到平面的距离借助转移手法,变为求另外一点到平面的距离,然后通过这两点到平面的距离的数量关系求得所求距离的方法,常用的手段有平行转移和等比例转移.
【考点定位】本题考查线线垂直的证明和二面角的求解,考查学生的空间想象能力和计算能力。