Question

2．已知函数$f（x）={e^x}-\frac{a}{e^x}$．
（1）当a=1时，求函数F（x）=x[f（x）-f′（x）]的最小值；
（2）若g（x）=|f（x）|在[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求出F（x）=x[f（x）-f′（x）]，求出函数的导数，然后求解最小值．
（2）通过当a≤0时，推出a≥[-e^2x]_max，当a＞0时，推出a≤[e^2x]_min，然后求出a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，函数$f（x）={e^x}-\frac{a}{e^x}$=${e}^{x}-\frac{1}{{e}^{x}}$．
F（x）=x[f（x）-f′（x）]，F（x）=$-\frac{2x}{{e}^{x}}$．
F′（x）=$\frac{2（x-1）}{{e}^{x}}$=0，可得x=1．
由表得：当x=1时，
F（x）最小值为：-$\frac{2}{e}$．┉┉┉（5分）
（2）当a≤0时，f（x）=${e}^{x}-\frac{a}{{e}^{x}}$＞0，g（x）=f（x），
若在[0，1]上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即：a≥[-e^2x]_max，
a≥-1，
∴-1≤a≤0，┉┉┉（8分）
当a＞0时，f′（x）=${e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}$＞0，f（x）=${e}^{x}-\frac{a}{{e}^{x}}$在[0，1]上是单调增的
又g（x）=|f（x）|在[0，1]上单调递增，所以f（x）≥0在[0，1]上恒成立．a≤[e^2x]_min，0＜a≤1．
综上：-1≤a≤1┉┉┉（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值，最小值，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．