Question

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为

3 2

2

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知A，B是抛物线C上的两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为M，设线段AB的中点为N，证明：存在λ∈R，使得

MN

=λ

OF

；
（3）在（2）的条件下，若抛物线C的切线BM与y轴交于点R，直线AB两点的连线过点F，试求△ABR面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点到直线的距离公式，求出c，即可求抛物线C的方程；
（2）利用点差法，求出M，N的横坐标，即可得出结论；
（3）切线BM的方程为y-

t2

4

=

1

2

t(x-t)，可得R(0，-

t2

4

)，再求出A的坐标，可得△ABR面积，利用导数的方法，可求△ABR面积的最小值．

解答： 解：（1）由题，抛物线C的方程为x²=4cy（c＞0），则

|0-c-2|

2

=

3 2

2

，解得c=1，所以抛物线C的方程为x²=4y．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=

1

4

x2，则y′=

1

2

x，得直线kAM=

1

2

x1，kBM=

1

2

x2，
所以AM：y-y1=

1

2

x1(x-x1)，BM：y-y2=

1

2

x2(x-x2)，
两式做差得：y2-y1=

1

2

x1(x-x1)-

1

2

x2(x-x2)
又因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在抛物线C上，故y1=

1

4

x12，y2=

1

4

x22，
代入上式得：

1

4

x22-

1

4

x12=

1

2

x1(x-x1)-

1

2

x2(x-x2)⇒x=

1

2

(x1+x2)，
即M的横坐标为xM=

1

2

(x1+x2)，
又N的横坐标为xN=

1

2

(x1+x2)，
所以MN∥y轴，故

MN

与

OF

共线．
所以存在λ∈R，使得

MN

=λ

OF

．
（3）设B(t，

t2

4

)(t≠0)，则切线BM的方程为y-

t2

4

=

1

2

t(x-t)，可得R(0，-

t2

4

)．
直线BA：y=

t2-4

4t

x+1，
由

y= t2-4 4t x+1 4y=x2

⇒A(-

4

t

，

4

t2

)，
所以S△ABR=

1

2

|FR|•|xB-xA|=

1

2

|1+

t2

4

|•|t+

4

t

|=

1

2

|

1

4

t3+2t+

4

t

|
令f(t)=

1

4

t3+2t+

4

t

(t＞0)，则f′(t)=

3

4

t2+2-

4

t2

，令f'（t）=0得t=

2 3

3

，
当t∈(0，

2 3

3

)时，f'（t）＜0，当t∈(

2 3

3

，+∞)时，f'（t）＞0，
所以当t∈(0，

2 3

3

)时，f（t）单调递减；当t∈(

2 3

3

，+∞)时，f（t）单调递增．
故f(t)min=f(

2 3

3

)=

16 3

9

．
故△ABR面积的最小值为

16 3

9

．

点评：本题考查抛物线方程，考查点差法的运用，考查导数知识，综合性强．