Question

2．已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log₂x，（1）求f（x）的解析式； （2）当f（x）＞0时．求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可设x＜0，-x＞0，带入x∈（0，+∞）上的解析式便可得出f（-x）=log₂（-x）=-f（x），从而得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{x＞0}\\{-lo{g}_{2}（-x）}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）分x＞0和x＜0，根据对数函数的单调性解不等式f（x）＞0，所得解求并集即可得出x的取值范围．

解答 解：（1）设x＜0，-x＞0；
∴f（-x）=log₂（-x）=-f（x）；
∴f（x）=-log₂（-x）；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{x＞0}\\{-lo{g}_{2}（-x）}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）①x＞0时，由f（x）＞0得，log₂x＞0；
∴x＞1；
②x＜0时，由f（x）＞0得，-log₂（-x）＞0；
∴log₂（-x）＜0；
∴0＜-x＜1；
∴-1＜x＜0；
∴x的取值范围为（-1，0）∪（1，+∞）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数已知一曲间上的解析式，求对称区间上的解析式的方法，以及对数函数的单调性．