Question

（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=ln（

1

2

+

1

2

ax）+x²-ax （a为常数，a＞0）
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当y=f（x）在x=

1

2

处取得极值时，若关于x的方程f（x）-b=0在[0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[

1

2

，1]，使不等式f（x₀）＞m（a²+2a-3）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=1时求出f′（x），则切线斜率k=f′（1），求出切点，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）求导数f′（x），令f′（

1

2

）=0可得a，利用导数可求得函数f（x）在[0，2]上的最小值、最大值，结合图象可知只需满足直线y=b与y=f（x）的图象有两个交点即可；
（3）先利用导数求出f（x）在[

1

2

，1]上的最大值f（1）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a，则问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a-m（a²+2a-3）成立，然后利用导数研究不等式左边的最小值即可；

解答：解：（1）a=1时，f(x)=ln(

1

2

+

1

2

x)+x2-x，
∴f′(x)=

1

1+x

+2x-1，于是f′(1)=

3

2

，
又f（1）=0，即切点为（1，0），
∴切线方程为y=

3

2

(x-1)；
（2）f′(x)=

a

1+ax

+2x-a，f′(

1

2

)=

a

1+ 1 2 a

+1-a=0，即a²-a-2=0，
∵a＞0，∴a=2，
此时，f′(x)=

2x(2x-1)

1+2x

，∴x∈[0，

1

2

]上递减，[

1

2

，2]上递增，
又f(0)=ln

1

2

，f(

1

2

)=-

3

4

，f(2)=ln

5

2

，
∴-

3

4

＜b≤ln

1

2

；
（3）f′（x）=

a

1+ax

+2x-a=

2ax2+(2-a2)x

1+ax

=

x[2ax-(a2-2)]

1+ax

，
∵1＜a＜2，∴

a2-2

2a

-

1

2

=

(a-2)(a+1)

2a

＜0，即

a2-2

2a

＜

1

2

，
∴f（x）在[

1

2

，2]上递增，∴f（x）_max=f（1）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a，
问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a＞m（a²+2a-3）成立，
设h（a）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a-m（a²+2a-3）（1＜a＜2），
则h′（a）=

1

1+a

-1-2ma-2m=

-2ma2-(4m+1)a-2m

a+1

，
又h（1）=0，∴h（a）在1右侧需先增，∴h′（1）≥0，m≤-

1

8

，
设g（a）=-2ma²-（4m+1）a-2m，对称轴a=-1-

1

4m

≤1，
又-2m＞0，g（1）=-8m-1≥0，
所以在（1，2）上，g（a）＞0，即h′（a）＞0，
∴h（a）在（1，2）上单调递增，h（a）＞h（1）=0，即ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a＞m（a²+2a-3），
于是，对任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[

1

2

，1]，使不等式f（x₀）＞m（a²+2a-3）成立，
m≤-

1

8

．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值、最值，考查函数恒成立问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想，综合性强，难度大．