Question

已知向量．

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，

1+cos x 2

2

)
（Ⅰ）若

m

•

n

=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（Ⅱ）记f（x）=

m

•

n

，在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用数量积运算和两角和差的正弦公式及其诱导公式、倍角公式即可得出．
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理、诱导公式可得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，进而得到cosB=

1

2

，即可解得B，得到A的取值范围，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）1=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+

1

2

(1+cos

x

2

)=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，
化为sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

，
∴cos(

2π

3

-x)=-cos(

π

3

+x)=-[1-2sin2(x+

π

6

)]=-1+2×(

1

2

)2=-

1

2

．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理可得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．
∴A∈(

π

6

，

π

2

)，
∵f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，
∴f（A）=sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

，
∵

A

2

+

π

6

∈(

π

4

，

5π

12

)，
∴sin(

A

2

+

π

6

)∈(

2

2

，

2 + 6

4

)，
∴f(A)∈(

2 +1

2

，

2 + 6 +2

4

)．
∴函数f（A）的取值范围是(

2 +1

2

，

2 + 6 +2

4

)．

点评：本题考查了数量积运算和两角和差的正弦公式及其诱导公式、倍角公式、正弦定理、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．