Question

设、是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于、两点．
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程．

Answer 1

（Ⅰ）法1：依题意显然的斜率存在，可设直线的方程为，
整理得 ． ①   ---------------2分
设是方程①的两个不同的根，
∴，  ②                --------4分
且，由是线段的中点，得
，∴．
解得，这个值满足②式，
于是，直线的方程为，即    --------6分
法2：设，，则有
     --------2分
依题意，，∴．           ---------------------4分
∵是的中点， ∴，，从而．
直线的方程为，即．   ----------------6分
（Ⅱ）∵垂直平分，∴直线的方程为，即，
代入椭圆方程，整理得． ③            ---------------8分
又设，的中点为，则是方程③的两根，
∴，．-----10分
到直线的距离，故所求的以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程为：

略