Question

19．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，设过A₁，B，C₁的平面与平面ABC的交线为l，试判断l与直线A₁C₁的位置关系，并给予证明．

Answer 1

分析 根据棱柱的结构特征，得到侧面AA₁C₁C中A₁C₁∥AC，结合直线与平面平行的判定定理，可以证出A₁C₁∥平面ABC，最后利用直线与平面平行的性质定理，得到过A₁C₁及点B的平面与底面ABC所在平面的交线l与A₁C₁与互相平行．

解答 解：根据题意，可得结论：A₁C₁∥l，以下进行证明：
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，
∴侧面AA₁C₁C是平行四边形，可得A₁C₁∥AC，
又∵A₁C₁?平面ABC且AC?平面ABC，
∴A₁C₁∥平面ABC，
∵过A₁C₁及点B的平面是平面A₁C₁B，
A₁C₁?面A₁C₁B，面A₁C₁B∩面ABC=l，
∴A₁C₁∥l，命题得证．

点评 本题以棱柱中的直线与直线平行、直线与平面平行为例，考查了直线与平面平行的判定定理与性质定理，属于中档题．