Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足ynlogxna=2(a＞0，a≠1)，设y₃=18，y₆=12．
（1）求数列{y_n}的前多少项和最大，最大值为多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；
（3）令an=logxnxn+1(n＞13，n∈N)，试判断数列{a_n}的增减性？

Answer 1

分析：（1）先根据等差数列的定义判定数列{y_n}，然后根据y₃=18，y₆=12可求出首项和公差，设前k项为最大，则

yk+1≤0 yk≥0

，可求出k的值，从而求出所求；
（2）讨论a与1的大小，然后解指数不等式，从而求出适合条件的M；
（3）先求出数列{a_n}的通项公式，然后判定a_n+1-a_n的符号，可得数列的单调性．

解答：解：（1）由已知得：y_n=2log_ax_n设等比数列{x_n}的公比为q（q≠1）
由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga

xn+1

xn

=2logaq得{y_n}为等差数列，设公差为d
∵y₃=18，y₆=12，∴d=-2；∴y_n=y₃+（n-3）d=24-2n
设前k项为最大，则

yk+1≤0 yk≥0

⇒11≤k≤12y₁₂=0
∴前11项和前12项和为最大，其和为132
（2）x_n=a^12-n，n∈N^*?；若x_n＞1，则a^12-n＞1?
当a＞1时，n＜12，显然不成立；当0＜a＜1时，n＞12
∴存在M=12，13，14，…，?当n＞M时，x_n＞1
（3）a_n=logxnxn+1=lo

g

12-n a

a12-(n+1)=

n-11

n-12

∵an+1-an=

n-10

n-11

-

n-11

n-12

=

-1

(n-11)(n-12)

＜0
∴a_n+1＜a_n∴n＞13时数列{a_n}为递减数列

点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及恒成立问题和数列单调性的判定，属于中档题．