Question

9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F且倾斜角$\frac{π}{4}$的直线与抛物线交于不同的两点A，B，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）由题意可设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），运用抛物线的定义，可得4+$\frac{p}{2}$=6，解得p=4，进而得到抛物线的方程；
（2）求得直线方程，联立抛物线的方程，消去未知数，运用韦达定理，和弦长公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，
且过一点P（4，m），
可设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
P（4，m）到焦点的距离为6，
即有P到准线的距离为6，即4+$\frac{p}{2}$=6，
解得p=4，
即抛物线的标准方程为y²=8x；
（2）由F（2，0），k=tan$\frac{π}{4}$=1，直线方程为y=x-2，
联立直线与抛物线方程得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$可得x²-12x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理知：x₁+x₂=12，
由|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，
可得|AB|=12+4=16．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．