Question

1．如图所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，D₁是B₁C₁的中点，设平面A₁D₁B∩平面ABC=l₁，平面ADC₁∩平面A₁B₁C₁=l₂，求证：l₁∥l₂．

Answer 1

分析 连接DD₁．过B点作直线l₁'∥AD，证明l₁'即为l₁，可得l₁∥AD∥A₁D₁；过C₁作直线l₂'∥A₁D₁，证明l₂'即为l₂，l₂∥AD∥A₁D₁；即可得证l₁∥l₂．

解答 证明：连接DD₁．在四边形BDD₁B₁中，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$B₁C₁=B₁D₁，BD∥B₁D₁，
所以四边形BDD₁B₁为平行四边形，
所以DD₁=BB₁=AA₁①，且DD₁∥BB₁∥AA₁②；由①、②得：四边形ADD₁A₁为平行四边形，
所以AD∥A₁D₁③；
过B点作直线l₁'∥AD，由③知l₁'∥A₁D₁，由于AD在面ABC中，A₁D₁在面A₁B₁C₁中，
所以l₁'∥面ABC，l₁'∥A₁B₁C₁，由于B点同时在面ABC和面A₁B₁C₁中，
所以l₁'同时在面ABC和面A₁B₁C₁中，即l₁'为面ABC和面A₁B₁C₁的交线，
所以l₁'即为l₁，
所以l₁∥AD∥A₁D₁④；
过C₁作直线l₂'∥A₁D₁，同上可以证明l₂'即为l₂，l₂∥AD∥A₁D₁⑤；
由④、⑤即得l₁∥l₂．

点评 本题在三棱柱中证明面面平行，并且证明了线面垂直．着重考查了线面平行、面面平行的判定定理，线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．