Question

11．已知f（x）=lg$\frac{2x}{ax+b}$，且f（1）=0，对任意的x＞0时，恒有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并用定义域证明f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）当x＞0时，恒有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx，可以构造一个关于a，b方程组，解方程组求出a，b值，进而求出函数的解析式；（2）根据单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）∵当x＞0时，有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx恒成立，
∴lg $\frac{2x}{ax+b}$-lg $\frac{\frac{2}{x}}{\frac{a}{x}+b}$=lgx，
即lg $\frac{2x}{ax+b}$-lg $\frac{2}{a+bx}$=lgx，
即lg（ $\frac{2x}{ax+b}$•$\frac{a+bx}{2}$）=lgx，$\frac{（a+bx）x}{ax+b}$=x．
整理得（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b，
又f（1）=0，
即a+b=2，从而a=b=1，
∴f（x）=lg$\frac{2x}{x+1}$；
（2）由（1）得：$\frac{2x}{x+1}$＞0，解得：x＞0或x＜-1，
∴函数的定义域是（-∞，-1）∪（0，+∞），
设x₁＞x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）
=lg$\frac{{2x}_{1}}{{x}_{1}+1}$-lg$\frac{{2x}_{2}}{{x}_{2}+1}$
=lg$\frac{1+\frac{1}{{x}_{2}}}{1+\frac{1}{{x}_{1}}}$，
∵x₁＞x₂＞0，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+1＜$\frac{1}{{x}_{2}}$+1，
∴lg$\frac{1+\frac{1}{{x}_{2}}}{1+\frac{1}{{x}_{1}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
同理可证f（x）在（-∞，-1）递增．

点评 本题主要考查对数的基本运算，求函数的解析式问题，函数单调性定义的应用，根据条件建立方程组是解决本题的关键．