Question

15．同一个平面上的两个非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，则向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$夹角的取值范围为[0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 先根据已知条件平方整理得到向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$数量积，再结合基本不等式求出夹角的余弦值的范围，求出结论．

解答 解：因为非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，
所以${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3{\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，
整理得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}）$≥$\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，
所以向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$夹角的余弦值cosθ$≥\frac{1}{2}$，
所以向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$夹角的取值范围为[0，$\frac{π}{3}$]；
故答案为：[0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考察数量积表示两个向量的夹角以及基本不等式的应用．属于中档题．