Question

4．下列命题中，正确命题的序号是②③④
①已知cos（$\frac{π}{2}$+φ）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且角φ的终边有一点（2，a），则a=±2$\sqrt{3}$
②函数f（x）的定义域是R，f（-1）=2，对?x∈R，f'（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（-1，+∞）；
③根据表格中的数据，可以判定方程e^x-x-6=0一个根所在的区间为（2，3）；

x	-1	0	1	2	3
ex	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+6	5	6	7	8	9

④已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时f（x）=e^x-ax，若函数f（x）在R上有且只有4个零点，则a的取值范围是（e，+∞）．

Answer 1

分析 利用诱导公式可得sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再由正弦函数的定义求得a值判断①；
利用已知可得f（x）是R上的增函数，由单调性得到关于x的一次不等式求解不等式的解集判断②；
由图表结合函数零点判定定理判断③；
首先判断x=0不是零点，其次说明函数f（x）在x＞0和x＜0上均有两个零点，对x＞0的函数f（x）求导，对a讨论，说明a≤0不可能，a＞0时，求出单调区间，求出极小值，令它小于0，解出a的范围判断④．

解答 解：①由cos（$\frac{π}{2}$+φ）=-sinφ=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又角φ的终边有一点（2，a），∴$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a=2$\sqrt{3}$，故①错误；
②令g（x）=f（x）-（2x+4），
则g′（x）=f′（x）-2，∵f'（x）＞2，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上为增函数，
当x＞-1时，g（x）＞g（-1）=f（-1）-（-2+4）=0，即f（x）＞2x+4
∴f（x）＞2x+4的解集为（-1，+∞），故②正确；
③令f（x）=e^x-x-6，根据表格中的数据，有f（2）=e²-（2+6）=7.39-8＜0，f（3）=e³-（3+6）=20.09-9＞0，
可以判定方程e^x-x-6=0一个根所在的区间为（2，3），故③正确；
④∵当x≥0时，f（x）=e^x-ax，∴f（0）=e⁰-0=1，即x=0不是零点，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴函数f（x）在x＞0和x＜0上有相同的零点个数，
∵函数f（x）在R上有且仅有4个零点，∴f（x）在x＞0上有且只有2个零点，
∵当x≥0时，f（x）=e^x-ax，导数f′（x）=e^x-a，当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在x≥0上单调增，不可能有两个零点，
当a＞0时，可得f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（-∞，lna），则f（lna）为极小值，令f（lna）＜0，
即e^lna-alna＜0，即a＜alna，lna＞1，解得，a＞e，∴a的取值范围是（e，+∞），故④正确．
∴正确命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的定义，考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数零点的判定方法，是中档题．