Question

14．已知函数f（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$．
（1）判断并证明函数f（x）在[0，+∞）的单调性；
（2）若x∈[1，m]时函数f（x）的最大值与最小值的差为$\frac{1}{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数的单调性的定义证明判断即可．
（2）利用（1）的结果，求出函数的最值，列出方程求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．
证明如下：任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=2-\frac{3}{{{x_1}+1}}-（2-\frac{3}{{{x_2}+1}}）=\frac{{3（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$
因为x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．
（2）由（1）知f（x）在[1，m]递增，所以$f（m）-f（1）=\frac{1}{2}$，即：$\frac{2m-1}{m+1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，所以m=2．

点评 本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．