Question

9．已知奇函数f（x）=log_a$\frac{b+ax}{1-ax}$，
（1）求b的值，并求出f（x）的定义域
（2）若存在区间[m，n]，使得当x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[log_a6m，log_a6n]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知f（x）+f（-x）=0，得b=1，即可求出f（x）的定义域；
（2）分类讨论，利用函数的单调性，及当x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[log_a6m，log_a6n]，求a的取值范围．

解答 解：（1）由已知f（x）+f（-x）=0，得b=1…（3分）
故$f（x）={log_a}\frac{1+ax}{1-ax}$，定义域为$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}}）$…（6分）
（2）当0＜a＜1时，$f（x）={log_a}\frac{1+ax}{1-ax}={log_a}（{\frac{2}{1-ax}-1}）$在$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}}）$上单调递减，
故有$\left\{\begin{array}{l}f（m）={log_a}\frac{1+am}{1-am}={log_a}6n\\ f（n）={log_a}\frac{1+an}{1-an}={log_a}6m\end{array}\right.$，而$y=\frac{1+ax}{1-ax}=（{\frac{2}{1-ax}-1}）$在$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}}）$上单调递增，
所以$\frac{1+am}{1-am}＜\frac{1+an}{1-an}$又6m＜6n与 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1+am}{1-am}=6n\\ \frac{1+an}{1-an}=6m\end{array}\right.$矛盾，
故a＞1…（8分）
所以$\left\{\begin{array}{l}f（m）={log_a}\frac{1+am}{1-am}={log_a}6m\\ f（n）={log_a}\frac{1+an}{1-an}={log_a}6n\end{array}\right.$，
故方程$\frac{1+ax}{1-ax}=6x$在$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}}）$上有两个不等实根，
即6ax²+（a-6）x+1=0在$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}}）$上有两个不等实根…（10分）
设g（x）=6ax²+（a-6）x+1，则$\left\{\begin{array}{l}△={（{a-6}）^2}-24a＞0\\-\frac{1}{a}＜-\frac{a-6}{12a}＜\frac{1}{a}\\ g（{-\frac{1}{a}}）=\frac{12}{a}＞0\\ g（{\frac{1}{a}}）=2＞0\end{array}\right.$…（12分）
$⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}-36a+36＞0\\ a＜18\end{array}\right.$$⇒a＜18-12\sqrt{2}$…（14分）
故$1＜a＜18-12\sqrt{2}$…（15分）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．