【题目】已知函数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)若函数存在唯一的零点
,且
,则
的取值范围.
【答案】(1) 函数在
上单调递增,
在
上单调递减.(2)
.
【解析】
(1)先求得函数的导数,然后利用导数的正负求出函数的单调区间.(2)先令,得
,构造函数
,对
分成
三类,利用导数研究函数
的单调区间,根据函数
存在唯一的零点
,且
,列不等式,解不等式求得
的取值范围.
(1),
令,解得
.
当时,
;当
时,
.
故函数在
上单调递增,
在
上单调递减.
(2)令,可得
,令
,且
,
本题等价于函数存在唯一的零点
,且
.
当时,
,解得
,函数
有两个零点,不符合题意,
当时,
,令
,解得
或
,
当时,函数
在
上单调递增,
在
上单调递减,
又,又
,
,所以函数
存在负数零点,不符合题意
当时,函数
在
上单调递减,
在
上单调递增,
又,故
,解得
,
综上,的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂预购软件服务,有如下两种方案:
方案一:软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元;
方案二:软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元.
(1)设日收费为元,每天软件服务的次数为
,试写出两种方案中
与
的函数关系式;
(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下面四个命题:其中所有正确命题的序号是_________.
①函数的最小正周期为
;
②在中,若
,则
一定是钝角三角形;
③函数且
的图象必经过点(3,2);
④若命题“”是假命题,则实数
的取值范围为
;
⑤的图象向左平移
个单位,所得图象关于
轴对称.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,一块黄铜板上插着三根宝石针,在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片.若按照下面的法则移动这些金片:每次只能移动一片金片;每次移动的金片必须套在某根针上;大片不能叠在小片上面.设移完n片金片总共需要的次数为an,可推得a1=1,an+1=2an+1.如图是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型,则输出的结果是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有一环保型企业,为了节约成本拟进行生产改造,现将某种产品产量与单位成本
统计数据如下:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
产量(千件) | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 5 |
单位成本(元/件) | 73 | 72 | 71 | 73 | 69 | 68 |
(Ⅰ)试确定回归方程;
(Ⅱ)指出产量每增加1000件时,单位成本平均下降多少?
(Ⅲ)假定单位成本为70元/件时,产量应为多少件?
(参考公式:.)
(参考数据
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,设椭圆的中心为原点,长轴在
轴上,上顶点为
,左右焦点分别为
,线段
,
的中点分别为
,且
是面积为4的直角三角形,过
作直线
交椭圆于
两点,使
,则直线
的斜率为______.
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