Question

3．已知圆O：x²+y²=1与圆C：x²+y²-6x-8y+m=0相切于M点，求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．

Answer 1

分析 利用圆O：x²+y²=1与圆C：x²+y²-6x-8y+m=0相切，求出m，设M（x，y），由题知，$\overrightarrow{CM}$=4$\overrightarrow{MO}$或$\overrightarrow{CM}$=6$\overrightarrow{OM}$，求出M的坐标，即可求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．

解答 解：圆C：x²+y²-6x-8y+m=0，可化为（x-3）²+（y-4）²=25-m
∵圆O：x²+y²=1与圆C：x²+y²-6x-8y+m=0相切，
∴|OC|=1+$\sqrt{25-m}$=5或|OC|=$\sqrt{25-m}$-1=5
∴m=9或m=-11
∴圆C：（x-3）²+（y-4）²=16或C：（x-3）²+（y-4）²=36
设M（x，y），由题知，$\overrightarrow{CM}$=4$\overrightarrow{MO}$或$\overrightarrow{CM}$=6$\overrightarrow{OM}$，
故M（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）或M（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$）
故所求圆的方程为（x-$\frac{3}{5}$）²+（y-$\frac{4}{5}$）²=16或（x+$\frac{3}{5}$）²+（y+$\frac{4}{5}$）²=36．

点评 本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．