Question

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且$\sqrt{3}$acosC-2bcosA+$\sqrt{3}$ccosA=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a²=（2-$\sqrt{3}$）bc，试判断△ABC是不是等腰三角形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$\sqrt{3}$sinAcosC-2sinBcosA+$\sqrt{3}$sinCcosA=0，由三角函数恒等变换的应用可得$\sqrt{3}$sinB=2sinBcosA，由sinB≠0，解得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可求A．
（2）由（1）可得：A=$\frac{π}{6}$．由余弦定理结合已知可得：（2-$\sqrt{3}$）bc=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，解得：（b-c）²=0，即b=c，从而得解．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\sqrt{3}$acosC-2bcosA+$\sqrt{3}$ccosA=0，
由正弦定理，得$\sqrt{3}$sinAcosC-2sinBcosA+$\sqrt{3}$sinCcosA=0，
$\sqrt{3}$（sinAcosC+sinCcosA）=$\sqrt{3}$sinB=2sinBcosA
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）△ABC是等腰三角形．
∵由（1）可得：A=$\frac{π}{6}$．
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，
又∵a²=（2-$\sqrt{3}$）bc，
∴（2-$\sqrt{3}$）bc=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，解得：（b-c）²=0，即b=c．
故△ABC是等腰三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力，属于中档题．