Question

4．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}（x＜1）}\\{lo{g}_{4}x（x≥1）}\end{array}\right.$．
（1）求f（0），f（2），f（f（3））的值；
（2）求不等式f（x）≤2的解集．

Answer 1

分析 （1）由分段函数，代入数值，计算即可得到所求，注意运用对数的性质和恒等式；
（2）由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}≤2}\\{x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}x≤2}\\{x≥1}\end{array}\right.$，运用指数函数和对数函数的单调性，解出它们，再求交集即可得到所求不等式的解集．

解答 解：（1）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}（x＜1）}\\{lo{g}_{4}x（x≥1）}\end{array}\right.$，
可得f（0）=2⁰=1，f（2）=log₄2=$\frac{1}{2}$，
f（3）=log₄3＜1，f（f（3））=2^-log₄3=${4}^{\frac{1}{2}lo{g}_{4}\frac{1}{3}}$=${4}^{lo{g}_{4}\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}≤2}\\{x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}x≤2}\\{x≥1}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{-x≤1}\\{x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤16}\\{x≥1}\end{array}\right.$，
即有-1≤x＜1或1≤x≤16，
可得-1≤x≤16，
则不等式的解集为[-1，16]．

点评 本题考查分段函数的运用：求函数值和解不等式，考查运算能力，属于中档题．