Question

4．求由参数方程x=${∫}_{0}^{t}$sinudu，y=${∫}_{0}^{t}$cosudu所确定的函数y=y（x）的导数．

Answer 1

分析 先根据定积分的计算法则，求出x，y，再根据同名三角形函数的关系消元，最后根据导数的运算法则计算即可．

解答 解：x=${∫}_{0}^{t}$sinudu=-cosu|${\;}_{0}^{t}$=-cost+1，y=${∫}_{0}^{t}$cosudu=sinu|${\;}_{0}^{t}$=sint，
∵sin²t+cos²t=1，
∴y²+（x-1）²=1，
∴y²=2x-x²，
∴y=±（2x-x²）${\;}^{\frac{1}{2}}$，
∴y′=±$\frac{1}{2}$$（2x-{x}^{2}）^{-\frac{1}{2}}$（2x-x²）′=±$\frac{1}{2}$$（2x-{x}^{2}）^{-\frac{1}{2}}$（2-2x）=±$（2x-{x}^{2}）^{-\frac{1}{2}}$（1-x）．

点评 本题考查了定积分的计算和参数方程，导数的运算，属于基础题．