Question

（本小题满分13分）
设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

Answer 1

（I）分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（II）当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
的极值之和为
．

解：（Ⅰ），
依题意有，故．从而．
的定义域为，当时，；
当时，；  当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为
．