Question

已知函数y=f（x）是（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）上是单调递增的，A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是

1. A.
   f（sinA）＞f（sinB）
2. B.
   f（sinA）＞f（cosB）
3. C.
   f（cosC）＞f（sinB）
4. D.
   f（sinC）＞f（cosB）

Answer 1

C
分析：由于f（x）定义在（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）上单调递增，可得f（x）在（0，1）上是减函数．而锐角三角形中，任意一个角的正弦要大于另外角的余弦，由此对题中各个选项依此加以判断，可得本题的答案．
解答：对于A，由于不能确定sinA、sinB的大小，
故不能确定f（sinA）与f（sinB）的大小，可得A不正确；
对于B，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，
∴A+B＞，得A＞-B
注意到不等式的两边都是锐角，两边取正弦，
得sinA＞sin（-B），即sinA＞cosB
∵f（x）定义在（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）上单调递增
∴f（x）在（0，1）上是减函数
由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正确
对于C，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，
∴B+C＞，得C＞-B
注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦，
得cosC＜cos（-B），即cosC＜sinB
∵f（x）在（0，1）上是减函数
由cosC＜sinB，可得f（cosC）＞f（sinB），得C正确；
对于D，由对B的证明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正确
故选：C
点评：本题给出抽象函数，求用锐角三角形的内角的正、余弦作为自变量时，函数值的大小关系．着重考查了函数的单调性、奇偶性和锐角三角形中三角函数值的大小比较等知识，属于中档题．