Question

11．已知二次函数f（x）=x²-16x+q+3．
（1）若函数在区间[-1，1]上最大值除以最小值为-2，求实数q的值；
（2）问是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且区间D的长度为12-t（此区间[a，b]的长度为b-a）

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，得到函数f（x）的单调性，求出其最大值和最小值，得到关于q的方程，解出即可；
（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12-t求出t的值，验证范围后即可得到答案．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=x²-16x+q+3的对称轴为x=8，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是减函数，
∴f（x）_max=f（-1）=20+q，f（x）_min=f（1）=-12+q，
由题意得：$\frac{20+q}{-12+q}$=-2，解得：q=$\frac{4}{3}$；
（2）当 $\left\{\begin{array}{l}{t＜8}\\{8-t≥10-8}\\{t≥0}\end{array}\right.$时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，
即[q-61，t²-16t+q+3]．
∴t²-16t+q+3-（q-61）=t²-16t+64=12-t．
∴t²-15t+52=0，∴t=$\frac{15±\sqrt{17}}{2}$．
经检验不合题意，舍去．
当 $\left\{\begin{array}{l}{t＜8}\\{8-t≥10-8}\\{t≥0}\end{array}\right.$时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，
即[q-61，q-57]．
∴q-57-（q-61）=4=12-t．
∴t=8
经检验t=8不合题意，舍去．
当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，
即[t²-16t+q+3，q-57]
∴q-57-（t²-16t+q+3）=-t²+16t-60=12-t
∴t²-17t+72=0，∴t=8或t=9．
经检验t=8或t=9满足题意，
所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．