【题目】如图,
是圆柱的上、下底面圆的直径,
是边长为2的正方形,
是底面圆周上不同于
两点的一点,
.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)由题意结合几何关系可证得,
,结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;
(2)建立空间直角坐标系,结合平面的法向量可得二面角的余弦值是
.
试题解析:
(1)由圆柱性质知: 平面
,
又平面
,∴
,
又是底面圆的直径,
是底面圆周上不同于
两点的一点,∴
,
又,
平面
,
∴平面
.
(2)解法1:过作
,垂足为
,由圆柱性质知平面
平面
,
∴平面
,又过
作
,垂足为
,连接
,
则即为所求的二面角的平面角的补角,
,
易得
,
,
,
∴,
由(1)知,∴
,
∴,∴
,
∴所求的二面角的余弦值为.
解法2:过在平面
作
,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵,
,∴
,∴
,
,
,
∴,
,
平面的法向量为
,设平面
的法向量为
,
,即
,取
,
∴,
∴所求的二面角的余弦值为.
解法3:如图,以为原点,
分别为
轴,
轴,圆柱过点
的母线为
轴建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
∴,
,
,
,
设是平面
的一个法向量,
则,
,即
,令
,则
,
,
∴,
,
设是平面
的一个法向量,
则,
,即
,令
,则
,
.
∴,
,
∴,
∴所求的二面角的余弦值为.
解法4:由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系:
∵,
,∴
,∴
,
,
,
,
∴,
,
,
,
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,
∴,
,
即,
,
,取
,
∴.
∴所求的二面角的余弦值为.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 且2Sn=(n+2)an﹣1(n∈N*).
(1)求a1的值,并用an﹣1表示an;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设Tn= +
+
+…+
,求证:Tn<
.
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【题目】已知椭圆的焦距为
,设右焦点为
,过原点
的直线
与椭圆
交于
两点,线段
的中点为
,线段
的中点为
,且
.
(1)求弦的长;
(2)当直线的斜率
,且直线
时,
交椭圆于
,若点
在第一象限,求证:直线
与
轴围成一个等腰三角形.
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【题目】下列各组函数是同一函数的是( )
A. 与
B. 与g(x)=2x﹣1
C.f(x)=x0与g(x)=1
D.f(x)=x2﹣2x﹣1与g(t)=t2﹣2t﹣1
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【题目】某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度,对20名学生进行问卷计分调查(满分100分),得到如图所示的茎叶图:
(1)计算男生打分的平均分,观察茎叶图,评价男女生打分的分散程度;
(2)从打分在80分以上的同学随机抽3人,求被抽到的女生人数的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)设过两点的直线的斜率为
,其中
、
为曲线
上的任意两点,并且
,若
恒成立,证明:
.
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【题目】将52名志愿者分成A,B两组参加义务植树活动,A组种植150捆白杨树苗,B组种植200捆沙棘树苗.假定A,B两组同时开始种植.
(1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时,种植一捆沙棘树苗用时
小时.应如何分配A,B两组的人数,使植树活动持续时间最短?
(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为小时,而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时
小时,于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植,求植树活动所持续的时间.
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【题目】如图,在某商业区周边有 两条公路和
,在点
处交汇,该商业区为圆心角
,半径3
的扇形,现规划在该商业区外修建一条公路
,与
,
分别交于
,要求
与扇形弧相切,切点
不在
,
上.
(1)设试用
表示新建公路
的长度,求出
满足的关系式,并写出
的范围;
(2)设,试用
表示新建公路
的长度,并且确定
的位置,使得新建公路
的长度最短.
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