Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．
（1）求a1的值，并用an﹣1表示an；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设Tn= + + +…+ ，求证：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．

令n=1时，2S1=3a1﹣1，

解得：a1=1

由于：2Sn=（n+2）an﹣1①

所以：2Sn+1=（n+3）an+1﹣1②

②﹣①得：2an+1=（n+3）an+1﹣（n+2）an，

整理得： ，

则： ，

即： ．

（2）解：由于： ，

则： ，…， ，

利用叠乘法把上面的（n﹣1）个式子相乘得： ，

即：

当n=1时，a1=1符合上式，

所以数列的通项公式是： ．

（3）证明：由于： ，

所以： ，

则： =2（ ），

所以： …+

=

=2（ ） = ．

【解析】（1）首先利用赋值法求出数列的首项，进一步建立数列an﹣1和an间的联系；（2）利用叠乘法求出数列的通项公式．（3）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结果．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．