【题目】已知f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为(0,5).
(1)求b,c的值;
(2)若对任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范围.
【答案】
(1)解:因为f(x)=2x2+bx+c,所以不等式f(x)<0即为2x2+bx+c<0,
由不等式2x2+bx+c<0的解集为(0,5),
所以方程2x2+bx+c=0的两个根为0和5,
所以 ;
(2)解:由(1)知:f(x)=2x2﹣10x,
所以“对任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立”等价于
“对任意x∈[﹣1,1],不等式2x2﹣10x+t≤2恒成立”,
即:对任意x∈[﹣1,1],不等式t≤﹣2x2+10x+2恒成立,
所以t≤(﹣2x2+10x+2)min,x∈[﹣1,1],
令g(x)=﹣2x2+10x+2,x∈[﹣1,1],
则 ,
所以g(x)=﹣2x2+10x+2在[﹣1,1]上为增函数,
所以gmin(x)=g(﹣1)=﹣10,
所以t≤﹣10,即t的取值范围为(﹣∞,﹣10].
另解:由(Ⅰ)知:f(x)=2x2﹣10x,
所以“对任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立”等价于
“对任意x∈[﹣1,1],不等式2x2﹣10x+t﹣2≤0恒成立”,
令g(x)=2x2﹣10x+t﹣2,x∈[﹣1,1],则gmax(x)≤0,x∈[﹣1,1],
因为g(x)=2x2﹣10x+t﹣2在[﹣1,1]上为减函数,
所以gmax(x)=g(﹣1)=10+t≤0,
所以t≤﹣10,即t的取值范围为(﹣∞,﹣10].
【解析】(1)由题意可得方程2x2+bx+c=0的两个根为0和5,由韦达定理,解方程可得b,c的值;(2)由题意可得对任意x∈[﹣1,1],不等式2x2﹣10x+t≤2恒成立,即对任意x∈[﹣1,1],不等式t≤﹣2x2+10x+2恒成立,所以t≤(﹣2x2+10x+2)min , x∈[﹣1,1],由二次函数的单调性可得最小值,即可得到所求范围; 另外:令g(x)=2x2﹣10x+t﹣2,x∈[﹣1,1],求得g(x)的单调性和最大值,即可得到所求范围.
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【题目】O为原点的直角坐标系中,点A(4,﹣3)为△OAB的直角顶点,已知AB=2OA,且点B的纵坐标大于0
(1)求 的坐标;
(2)求圆C1:x2﹣6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆C2的方程;在直线OB上是否存在点P,过点P的任意一条直线如果和圆C1圆C2都相交,则该直线被两圆截得的线段长相等,如果存在求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆:
(
)的短轴长为2,以
为中点的弦
经过左焦点
,其中点
不与坐标原点
重合,射线
与以
圆心的圆交于点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若四边形是矩形,求圆
的半径;
(Ⅲ)若圆的半径为2,求四边形
面积的最小值.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 且2Sn=(n+2)an﹣1(n∈N*).
(1)求a1的值,并用an﹣1表示an;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设Tn= +
+
+…+
,求证:Tn<
.
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【题目】已知椭圆的焦距为
,设右焦点为
,过原点
的直线
与椭圆
交于
两点,线段
的中点为
,线段
的中点为
,且
.
(1)求弦的长;
(2)当直线的斜率
,且直线
时,
交椭圆于
,若点
在第一象限,求证:直线
与
轴围成一个等腰三角形.
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【题目】将52名志愿者分成A,B两组参加义务植树活动,A组种植150捆白杨树苗,B组种植200捆沙棘树苗.假定A,B两组同时开始种植.
(1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时,种植一捆沙棘树苗用时
小时.应如何分配A,B两组的人数,使植树活动持续时间最短?
(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为小时,而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时
小时,于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植,求植树活动所持续的时间.
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