Question

（2009•广州模拟）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CD的中点．
（I）求证：A₁C∥平面AD₁E；
（II）在对角线A₁C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD₁E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据线面平行的判定定理，先证明线线平行，再证线面平行
（2）先假设存在，建系，由线面垂直的性质定理，得到线线垂直，从而得到向量垂直，用向量垂直的坐标条件确定点P是否存在，并求线段PC的长

解答：证明：（1）连接A₁D，交AD₁于M，连接ME
则点M是A₁D的中点
又点E是CD的中点
∴ME∥A₁C
又∵A₁C?面AD₁E，ME?面AD₁E
∴A₁C∥平面AD₁E
（2）解：假设存在点P满足题意
以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴建立空间直角坐标系
则点A（1，0，0）、E（0，

1

2

，0）、D₁（0，0，1）、A₁（1，0，1）
∴

AE

=(-1，

1

2

，0)，

AD1

=(-1，0，1)
设P（x，y，z），则

A1P

∥ 

A1C

∴

A1P

=λ

A1C

又

A1P

=(x-1，y，z-1)，

A1C

=(-1，1，-1)
∴（x-1，y，z-1）=λ（-1，1，-1）=（-λ，λ，-λ）
∴x-1=-λ，y=λ，z-1=-λ
∴x=-λ+1，y=λ，z=-λ+1，即P（-λ+1，λ，-λ+1）
∴

DP

=(-λ+1，λ，-λ+1)
∵DP⊥平面AD₁E
∴

DP

⊥

AE

，

DP

⊥

AD1

∴

DP

•

AE

=0，

DP

•

AD1

=0
∴

(-1， 1 2 ，0)•(-λ+1，λ，-λ+1)=0 (-1，0，1)•(-λ+1，λ，-λ+1)=0

∴λ=

2

3

∴在A₁C上存在点P(

1

3

，

2

3

，

1

3

)使得DP⊥平面AD₁E，
此时

A1P

=λ

A1C

=

2

3

A1C

∴A1P=

2

3

A1C
∴PC= 

1

3

A1C
又∵A1C=

A1A2+AB2+BC2

=

3

∴PC=

1

3

A1C=

3

3

点评：本题考查线面平行的判定和线面垂直的性质定理的应用，探索性问题一般先假设存在，再由条件求证．要求建系要准确，点和向量的 坐标要准确．属中档题