Question

4．已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）²+y²=225相切，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=$\sqrt{3}$x，它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长12．

Answer 1

分析 求出抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，利用抛物线y²=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）²+y²=225相切，可得p，利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=$\sqrt{3}$x，它的一个焦点是该抛物线的焦点，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，a²+b²=144，即可求出双曲线实轴长．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∵抛物线y²=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）²+y²=225相切，
∴3+$\frac{p}{2}$=15，∴p=24，
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=$\sqrt{3}$x，它的一个焦点是该抛物线的焦点，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，a²+b²=144，
∴a=6，b=6$\sqrt{3}$，
∴2a=12，
∴双曲线实轴长为12．
故答案为：12．

点评 本题考查双曲线实轴长，考查双曲线、抛物线的性质，属于中档题．