Question

设抛物线C₁：x²=4y的焦点为F，曲线C₂与C₁关于原点对称．
（Ⅰ） 求曲线C₂的方程；
（Ⅱ） 曲线C₂上是否存在一点P（异于原点），过点P作C₁的两条切线PA，PB，切点A，B，满足|AB|是|FA|与|FB|的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据曲线C₂与C₁关于原点对称，可求曲线C₂的方程；
（Ⅱ）求出切线PA、PB的方程，可得直线AB的方程，代入抛物线方程，求出|AB|，利用抛物线定义，结合|FA|+|FB|=2|AB|，即可得出结论．

解答：（Ⅰ）解；因为抛物线C₁：x²=4y的焦点为F，曲线C₂与C₁关于原点对称，所以C₂方程为x²=-4y．
（Ⅱ）解：设P（x0，-

x02

4

），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．
y=

1

4

x2的导数为y′=

1

2

x，则切线PA的方程y-y1=

1

2

x1(x-x1)，
又y1=

1

4

x12，得y=

1

2

x1x-y1，
因点P在切线PA上，故-

1

4

x02=

1

2

x1x0-y1．
同理-

1

4

x02=

1

2

x2x0-y2．
所以直线-

1

4

x02=

1

2

x0x-y经过A，B两点，
即直线AB方程为-

1

4

x02=

1

2

x0x-y，即y=

1

2

x0x+

1

4

x02，
代入x²=4y得x2-2x0x-x02=0，则x₁+x₂=2x₀，x1x2=-x02，
所以|AB|=

1+ 1 4 x02

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

(8+2x02)•x02

，
由抛物线定义得|FA|=y₁+1，|FB|=y₂+1．
所以|FA|+|FB|=(y1+y2)+2=

1

2

x0(x1+x2)+

1

2

x02+2，
由题设知，|FA|+|FB|=2|AB|，即(

3

2

x02+2)2=4x02(8+2x02)，
解得x02=

32 3 -52

23

，从而y0=

13-8 3

23

．
综上，存在点P满足题意，点P的坐标为（

2 23(8 3 -13)

23

，

13-8 3

23

）或（-

2 23(8 3 -13)

23

，

13-8 3

23

）．

点评：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系、等差中项等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，属于中档题．