Question

已知f（x）=x+

m

x

（m∈R），
（1）若函数y=log 

1

2

[f（x）+2]在区间[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．
（2）若m≤2，求函数g（x）=f（x）-lnx在区间[

1

2

，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据复合函数的单调性，判断出f（x）在区间[1，+∞）上是增函数且f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，分别利用导数和恒成立问题求解，取交集即可求出实数m的取值范围；
（2）求g′（x），根据g′（x）=0是否有根，对实数m分类讨论，当无根时，g（x）单调递增，求出最值，当有根时，分别求出两个根，判断其左右的单调性，确定出函数的最值．

解答：解：（1）∵函数y=log 

1

2

[f（x）+2]在区间[1，+∞）上是减函数，
又y=log 

1

2

x在[1，+∞）上为减函数，
∴y=f（x）+2在[1，+∞）上为减函数，即y=f（x）在[1，+∞）上为减函数，①
要使函数有意义，则f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，②
对于①，可得f′(x)=1-

m

x2

≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴m≤x²在区间[1，+∞）上恒成立，
∴m≤1；
对于②，f（x）+2＞0区间[1，+∞）上恒成立，
∴[f（x）+2]_min＞0，而y=f（x）+2在[1，+∞）上为减函数，
∴[f（x）+2]_min=f（1）+2＞0，
∴m＞-3．
综上所述，实数m的取值范围是（-3，1]．
（2）∵g（x）=f（x）-lnx，
∴g(x)=x+

m

x

-lnx，则g′(x)=1-

m

x2

-

1

x

=

(x- 1 2 )2-(m+ 1 4 )

x2

，
①当m≤-

1

4

时，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）是[

1

2

，2]上的增函数，
∴g(x)min=g(

1

2

)=

1

2

+2m+ln2；
②当-

1

4

≤m≤2时，令g′（x）=0，解得，x1=

1

2

-

m+ 1 4

(＜

1

2

)，x2=

1

2

+

m+ 1 4

(∈[

1

2

，2])，
∵当x∈[

1

2

，x2]时，g′（x）≤0，当x∈[x₂，2]时，g′（x）≥0，
∴g（x）在[

1

2

，x2]上单调递减，在[x₂，2]上单调递增，
∴g(x)min=g(x2)=

1

2

+

m+ 1 4

+

m

1 2 + m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)=2

m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)．
综合①②，当-

1

4

≤m≤2时，函数g（x）=f（x）-lnx在区间[

1

2

，2]上的最小值为：2

m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)．

点评：本题考查了复合函数的单调性以及利用导数求闭区间上函数的最值问题．复合函数的单调性的判断要抓住“同增异减”的性质，特别要注意单调区间是定义域的子集，即函数必须在单调区间内有意义，是容易忽略的地方．属于中档题．