Question

已知函数f(x)=

(3a-1)x+5a，x＜1 logax，x≥1

，现给出下列命题：
①当图象是一条连续不断的曲线时，则a=

1

8

；
②当图象是一条连续不断的曲线时，能找到一个非零实数a，使得f（x）在R上是增函数；
③当a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}时，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；
④当a=

1

4

时，则方程f（x²+1）-f（2x+4）=0的解集为{-1，3}；
⑤函数 y=f（|x+1|）是偶函数．
其中正确的命题是（　　）

Answer 1

分析：当图象是一条连续不断的曲线时

lim

x→1-

f（x）=

lim

x→1-

[（3a-1）x+5a]=8a-1=

lim

x→1+

f（x）=

lim

x→1+

log_a x=0，解方程后可判断①；
由①中结论，判断f （x）在R上的单调性，可判断②；
当a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}时，1+a＞1，1-a＜1，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0可化为[（3a-1）（1-a）+5a]•[log_a （1+a）]＜0，解不等式可判断③；
当a=

1

4

时，解方程f（x²+1）-f（2x+4）=0，可判断④；
根据函数奇偶性的定义，判断函数 y=f（|x+1|）的奇偶性，可判断⑤

解答：解：

lim

x→1-

f（x）=

lim

x→1-

[（3a-1）x+5a]=8a-1，

lim

x→1+

f（x）=

lim

x→1+

loga x=0，
∵图象是一条连续不断的曲线，
∴8a-1=0，a=

1

8

，故①正确；
当图象是一条连续不断的曲线时，
a=

1

8

，f （x）在R上是减函数，故②不正确；
当a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}时，1+a＞1，1-a＜1，
不等式f（1+a）•f（1-a）＜0可化为[（3a-1）（1-a）+5a]•[log_a （1+a）]＜0，
∵log_a （1+a）＜0，（3a-1）（1-a）+5a＞0恒成立
∴不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，故③正确；
当a=

1

4

时，则方程f（x²+1）-f（2x+4）=0可化为：
log

1

4

 （x²+1）-log

1

4

 （2x+4）=0，（x≥-

3

2

），解得x=3，x=-1
或log

1

4

 （x²+1）+

1

4

x-

5

4

=0，（x＜-

3

2

），此时方程无解
综上原方程的解集为{-1，3}；故④正确；
函数 y=f（|x+1|）是偶函数不成立．即⑤不正确．
故选C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题时要注意极限和连续的合理运用．